因为凳子的四条腿是共面的,一开始不平说明地面是不平的,则说明地面是连续变化的。
椅子有四只脚,因而有四个距离,但是由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,令相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为f(θ)和g(θ),θ表示凳子绕中心旋转角度,(f(θ),g(θ)≥0)。由于地面是连续变化的,f和g都是连续函数。对于椅脚的间距和椅腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,所以对于任意的θ,f(θ)和g(θ)中至少有一个为零。当θ0时不妨设g(θ)0,f(θ)>0。这样,改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为证明如下的数学命题:
已知f(θ)和g(θ)是θ的连续函数,对任意θ,f(θ)・g(θ)0,且g(0)0,f(0)>0.证明存在θ0,使f(θ0)g(θ0)0.
因此根据连续函数的介值定理。当凳子不能放稳时,可以保持凳子的中心轴线不变,然后转动凳子,其中必有至少一个位置使凳子的四个腿位于一个平面上,这样凳子就可以放稳了。